immut 教程

immut 包适合把多项式当作普通值来传递：构造器复制输入数组，更新和代数运算返回新值，旧值保持不变。

单变量稠密多项式

系数使用升幂顺序：

let p = @immut.DensePolynomial::from_coefficients([1, 2, 3])
let q = @immut.DensePolynomial::variable()
let value = p.eval(2)
let composed = p.substitute(q + @immut.DensePolynomial::constant(1))

这里 p 表示 1 + 2x + 3x^2，value 为 17。substitute 不会修改 p。

构造器会保持规范形态：

let p = @immut.DensePolynomial::from_coefficients([1, 2, 0, 0])
let coefficients = p.to_coefficients()

coefficients 为 [1, 2]。

指数向量

多元多项式使用 ExponentVector 描述单项式指数：

let xy2 = @immut.ExponentVector::from_array([1U, 2])
let x = xy2.with_exponent(1, 0)
let degree = xy2.degree()

xy2 表示 x * x_1^2，总次数为 3。x 是新值，xy2 不变。

多元排序项数组表示

TermPolynomial 从项数组构造，会合并重复指数并删除零系数：

let p = @immut.TermPolynomial::from_array([
  ([1U, 0], 2),
  ([1U], -2),
  ([0U, 1], 3),
])
let value = p.eval([5, 2])

前两项指数等价，系数相加后抵消，剩下 3 * x_1，因此 value 为 6。

稀疏映射表示

SparsePolynomial 用有序映射保存指数到系数的关系，适合按指数查询：

let p = @immut.SparsePolynomial::from_array([
  ([2U], 1),
  ([1U], 2),
  ([], 1),
])
let coeff = p.get(@immut.ExponentVector::from_array([1U]))
let value = p.eval([2])

p 表示 x^2 + 2x + 1，coeff 为 Some(2)，value 为 9。

选择表示

• 单变量稠密多项式优先使用 DensePolynomial。
• 多元多项式需要稳定项数组和批量代数运算时使用 TermPolynomial。
• 多元多项式需要按指数查询或映射语义时使用 SparsePolynomial。
• 使用 SparsePolynomial::from_terms(term.to_terms()) 或 TermPolynomial::from_terms(sparse.to_terms()) 在两种多元表示之间显式转换。
• 泛型代码不应关心底层存储时，使用 UnivariatePolynomial、 MultivariatePolynomial、ContextualPolynomial 或 Type::ops()。