checked 设计

本页解释对偶数的哪些运算具有带检查的形式、它们的错误如何从求导规则中产生，以及为什么门面包复用 arithmetic 的错误模型。

设计目标

让被求导的代码以值的形式报告非法运算，使用与 Luna Flow 标量代码相同的错误类型，并使带检查的运算不可能返回一个有效的值却附带无效的导数。

数学背景

导数在何处失效

当 $f(a + b\varepsilon) = f(a) + f'(a)\,b\,\varepsilon$ 的任一分量无定义时，带检查的运算必须失败。对于这两个带检查的运算：

$$\begin{aligned} \frac{a + b\varepsilon}{c + d\varepsilon} &= \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c^2}\,\varepsilon &&\text{needs } c \ne 0, \\ \sqrt{a + b\varepsilon} &= \sqrt a + \frac{b}{2\sqrt a}\,\varepsilon &&\text{needs } a > 0 . \end{aligned}$$

商恰好在值失效的地方失效，因为在精确算术中 $c^2 \ne 0 \iff c \ne 0$。平方根则不同：$\sqrt a$ 在 $a = 0$ 处存在，但 $\sqrt{\cdot}$ 在那里不可导（其差商 $\sqrt h / h = h^{-1/2}$ 无界），因此对偶运算的定义域是开半直线 $a > 0$，比标量平方根的定义域 $a \ge 0$ 更小。

浮点数的定义域

在 Double 中，非零的 $c$ 也可能使 $c^2$ 为零：当 $|c| < 2^{-537}$ 时（采用就近舍入并支持渐进下溢），$c^2$ 会下溢为 $0$，即使 $a/c$ 可能是有限值。这时带检查的商会因切向分量而报告除以零。这类输入最好先重新缩放；dual 设计 假定不发生下溢。

设计决策

检查两个分量

问题。 带检查的标量运算可能成功，而导数却不存在。

选择。 每个带检查的对偶运算都对值调用带检查的标量运算，对切向分量的除法调用 div_checked，并返回遇到的第一个错误。这使得对偶运算的定义域成为 $f$ 与 $f'$ 定义域的交集，正如上面推导的那样；特别地，sqrt_checked 在 $0$ 处失败。

不对零切向分量做特殊处理

当 $a = 0$ 且 $b = 0$ 时，切向分量是不定式 $0/0$。可以返回 $0$（常数输入没有需要报告的导数），但那样会让结果取决于常数是如何产生的。实现交由 T 决定，对于 Double，这是一个定义域错误。

复用 arithmetic

Dual[T] 实现了 arithmetic 中的 DivChecked 和 SqrtChecked，本门面包恰好重新导出这两个 trait，以及 ArithmeticContext、ArithmeticError、ArithmeticErrorKind 和 RoundingMode。因此泛型的带检查代码无需改动即可在 Double 和 Dual[Double] 上运行，两个层次的错误也是同一类型。

只有除法和平方根

arithmetic 为除法、平方根、比较、解析和整数幂定义了带检查的 trait。其中只有除法和平方根是本仓库中具有求导规则的 $T[\varepsilon]$ 运算，因此只有它们具有带检查的对偶形式。对数和三角函数沿用 T 不带检查的语义。

正确性与不变量

• div_checked(x, y) 恰好在 T 的 div_checked 对 $a/c$ 和 $(bc - ad)/c^2$ 都成功时成功；此时它等于用相同运算计算出的 x / y。
• sqrt_checked(x) 恰好在 T 的 sqrt_checked(a) 和 div_checked(b, 2√a) 都成功时成功；对于 Double，即 $a > 0$ 或 $a$ 为 NaN。
• 上下文被原样传给 T，且从不被修改。

被否决的方案

• 专门的 autodiff 错误类型。 它会与 ArithmeticError 重复，并迫使每个边界处都进行转换。
• Option 结果。 它会丢失失败的原因。
• 只检查值。 这会让”带检查的”运算返回无穷大或 NaN 的导数。

边界

• 没有带检查的对数、指数或三角运算。
• 没有上下文相关（ArithmeticOutcome）的运算，也没有舍入诊断。
• 不会自动重新缩放极小的除数。