poly API

poly 包通过在 Dual[T] 上求值，对 Luna-Flow/luna-poly 中的多项式在某点处求导。它支持稠密一元多项式和单变量稀疏多项式。方法的原理见 poly 设计。

源码：src/poly/poly.mbt。

导入

import {
  "Luna-Flow/autodiff/poly",
  "Luna-Flow/luna-poly/immut/dense",
  "Luna-Flow/luna-poly/immut/sparse",
}

示例中用 @poly 表示本包，用 @dense 和 @sparse 表示 luna-poly 的包。@poly.DensePolynomial 和 @poly.SparsePolynomial 与 @dense.DensePolynomial 和 @sparse.SparsePolynomial 是同一类型。

每个函数都要求 T : Eq + Semiring：Semiring 用于算术运算，Eq 则是因为 luna-poly 在构建提升后的多项式时会对系数做规范化。不需要 NatHomomorphism 或除法，因此整数多项式同样适用。

稠密多项式

`eval_dual`

在对偶数输入处对稠密多项式求值。

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] eval_dual(@dense.DensePolynomial[T], @dual.Dual[T]) -> @dual.Dual[T]

对于 $x = a + b\varepsilon$ ，结果为 $p(a) + p'(a)\,b\,\varepsilon$ 。系数通过 Dual::constant 提升，提升后的多项式用 DensePolynomial::eval（Horner 法则）求值。代价： $O(\deg p)$ 次对偶数运算，外加一个存放提升后系数的数组。可用它把多项式嵌入更大的被求导计算中，例如 eval_dual(p, x.sin())。

`dense_value_and_derivative_at`

返回 $(p(x), p'(x))$ 。

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] dense_value_and_derivative_at(@dense.DensePolynomial[T], T) -> (T, T)

它就是把 eval_dual(p, Dual::variable(x)) 拆分成两个分量。

`dense_derivative_at`

返回 $p'(x)$ 。

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] dense_derivative_at(@dense.DensePolynomial[T], T) -> T

test "dense polynomial derivative" {
  // p(x) = 1 + 2x + x^3
  let p = @dense.DensePolynomial::from_coefficients([1.0, 2.0, 0.0, 1.0])
  assert_eq(@poly.dense_value_and_derivative_at(p, 3.0), (34.0, 29.0))
  assert_eq(@poly.dense_derivative_at(p, 3.0), 29.0)
  let y = @poly.eval_dual(p, @autodiff.Dual::new(3.0, 4.0))
  assert_eq(y, @autodiff.Dual::new(34.0, 116.0)) // p'(3) * 4
}

单变量稀疏多项式

这些函数把 SparsePolynomial 视为关于其第一个变量的多项式：用单一赋值 [x] 对其求值。

`sparse_univariate_eval_dual`

在对偶数输入处对单变量稀疏多项式求值。

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] sparse_univariate_eval_dual(@sparse.SparsePolynomial[T], @dual.Dual[T]) -> @dual.Dual[T]

结果为 $p(a) + p'(a)\,b\,\varepsilon$ 。系数通过 Dual::constant 提升，每一项 $c\,x^e$ 用二进制快速幂求值，因此代价为 $O(\sum_{\text{terms}} \log e)$ 次对偶数运算，缺失的次数不产生任何开销。

`sparse_univariate_value_and_derivative_at`

对单变量稀疏多项式返回 $(p(x), p'(x))$ 。

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] sparse_univariate_value_and_derivative_at(@sparse.SparsePolynomial[T], T) -> (T, T)

`sparse_univariate_derivative_at`

对单变量稀疏多项式返回 $p'(x)$ 。

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] sparse_univariate_derivative_at(@sparse.SparsePolynomial[T], T) -> T

test "sparse polynomial derivative" {
  // p(x) = 4 - x + 2x^3
  let p = @sparse.SparsePolynomial::from_array([
    ([3U], 2.0),
    ([1U], -1.0),
    ([0U], 4.0),
  ])
  assert_eq(@poly.sparse_univariate_value_and_derivative_at(p, 2.0), (18.0, 23.0))
  assert_eq(@poly.sparse_univariate_derivative_at(p, 2.0), 23.0)
}

兼容名称

早期版本使用较短的名称。它们仍然可用，没有被弃用，并会调用上面的函数。

名称	等同于
`value_and_derivative_at`	`dense_value_and_derivative_at`
`derivative_at`	`dense_derivative_at`
`eval_sparse_dual`	`sparse_univariate_eval_dual`
`sparse_value_and_derivative_at`	`sparse_univariate_value_and_derivative_at`
`sparse_derivative_at`	`sparse_univariate_derivative_at`

`value_and_derivative_at`

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] value_and_derivative_at(@dense.DensePolynomial[T], T) -> (T, T)

`derivative_at`

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] derivative_at(@dense.DensePolynomial[T], T) -> T

`eval_sparse_dual`

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] eval_sparse_dual(@sparse.SparsePolynomial[T], @dual.Dual[T]) -> @dual.Dual[T]

`sparse_value_and_derivative_at`

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] sparse_value_and_derivative_at(@sparse.SparsePolynomial[T], T) -> (T, T)

`sparse_derivative_at`

pub fn[T : Eq + @luna-generic.Semiring] sparse_derivative_at(@sparse.SparsePolynomial[T], T) -> T

新代码中请优先使用较长的名称：它们明确指出了所针对的表示形式和导数种类。

重新导出的类型

`DensePolynomial`

pub using @dense {type DensePolynomial}

`SparsePolynomial`

pub using @sparse {type SparsePolynomial}

`Dual`

pub using @dual {type Dual}