integration API

integration パッケージは、Gauss–Kronrod 求積法により有限区間 $[a, b]$ 上の Func_Math の定積分を計算します。基本的な Gauss–Kronrod 則、区間を分割する適応積分器、そして則の次数を上げていく非適応積分器を提供します。

Gauss–Kronrod 則

`kronrod_r15`, `kronrod_r21`, `kronrod_r31`, `kronrod_r41`, `kronrod_r51`, `kronrod_r61`

各関数は $[a, b]$ 上で f に Gauss–Kronrod 則を一つ適用します。名前の数字は Kronrod 点の数です。

fn kronrod_r15((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r21((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r31((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r41((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r51((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r61((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)

結果はタプル (result, result_abs, result_asc, error) です。

値	意味
`result`	`f` の積分の Kronrod 近似。
`result_abs`	同じ則を $\lvert f \rvert$ に適用した値。
`result_asc`	同じ則を $\lvert f - \bar f \rvert$ に適用した値。 $\bar f$ は区間上の `f` の平均値で、`f` の変動の大きさを表します。
`error`	Kronrod 近似と埋め込まれた Gauss 近似の差を `rescale_error` で再スケールしたもの。

どの則も basic パッケージの型 Quad_GK を持つので、adap_quad_gk に渡せます。

`rescale_error`

rescale_error は、二つの求積近似の生の差を保守的な誤差推定に変換します。

fn rescale_error(Double, Double, Double) -> Double

rescale_error(err, result_abs, result_asc) は、両者が非零のとき $\lvert err \rvert$ を $result\_asc \cdot \min(1, (200 \lvert err \rvert / result\_asc)^{3/2})$ にスケールし、 $50\,\varepsilon \cdot result\_abs$ 未満の値は返しません。ここで $\varepsilon$ は Double の機械イプシロンです。これは QUADPACK の誤差ヒューリスティックです。

積分器

`adap_quad_gk`

adap_quad_gk は $[a, b]$ 上で f を適応的に積分します。総誤差が許容誤差を満たすまで、誤差が最大の部分区間を二等分します。

fn adap_quad_gk((Double) -> Double, ((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double), Double, Double, Double, Double, Int) -> Result[(Double, Double, ErrCode), ErrCode]

adap_quad_gk(f, q, a, b, epsabs, epsrel, limit) は各部分区間に則 q（例えば kronrod_r21）を適用します。推定絶対誤差が $\max(epsabs, epsrel \cdot \lvert I \rvert)$ 以下になると計算は成功で終了します。ここで $I$ は現在の積分推定値です。limit は部分区間の最大数です。

成功すると結果は Ok((integral, error, OK))、そうでなければ Err(code) です。

コード	原因
`E_BAD_TOL`	`epsabs` が正でなく、かつ `epsrel` が機械イプシロンまたは $0.5 \cdot 10^{-28}$ より小さい。
`E_ROUND`	丸め誤差のため、要求された許容誤差に到達できない。
`E_SINGULARITY`	部分区間が小さくなりすぎて二等分できない。特異点や激しく振動する被積分関数が疑われます。
`E_MAX_ITER`	許容誤差に到達する前に `limit` 個の部分区間を使い切った。

`non_adap_quad_gk`

non_adap_quad_gk は、区間を分割せずに次数を上げていく Gauss–Kronrod 則で $[a, b]$ 上の f を積分します。

fn non_adap_quad_gk((Double) -> Double, Double, Double, Double, Double) -> Result[(Double, Double, Int), ErrCode]

non_adap_quad_gk(f, a, b, epsabs, epsrel) は 21 点、43 点、87 点の則を順に試し、推定誤差が epsabs 未満、または epsrel と結果の絶対値の積未満になった時点で返ります。結果は Ok((integral, error, neval)) で、neval は使用した関数評価の回数（21、43、87 のいずれか）です。許容誤差が不正な場合は adap_quad_gk と同様に Err(E_BAD_TOL)、87 点の則でも許容誤差に達しない場合は Err(E_FAILED) になります。

// Integrate x^2 from 0 to 1 (exact answer: 1/3)
let f = fn(x) { x * x }
match non_adap_quad_gk(f, 0.0, 1.0, 0.0000000001, 0.0000000001) {
  Ok((result, error, neval)) =>
    println("Integral: \{result}, Error: \{error}, Evaluations: \{neval}")
  Err(code) => println("Integration failed with error: \{code}")
}

エラーコード

`ErrCode`

ErrCode は積分の結果を表します。

pub(all) enum ErrCode {
  OK
  E_ROUND
  E_SINGULARITY
  E_MAX_ITER
  E_FAILED
  E_BAD_TOL
} derive(Eq)

コンストラクタ	意味
`OK`	積分に成功した。
`E_ROUND`	予期しない丸め誤差。
`E_SINGULARITY`	特異点または激しく振動する被積分関数の可能性。
`E_MAX_ITER`	分割数の上限に達した。
`E_FAILED`	一般的な失敗。
`E_BAD_TOL`	不正な許容誤差パラメーター。

ErrCode は Eq を実装しているので、結果のコードをコンストラクタと比較できます。

integration API

Gauss–Kronrod 則

kronrod_r15, kronrod_r21, kronrod_r31, kronrod_r41, kronrod_r51, kronrod_r61

rescale_error

積分器

adap_quad_gk

non_adap_quad_gk