integration API

integration 包使用 Gauss–Kronrod 求积法计算 Func_Math 在有限区间 $[a, b]$ 上的定积分。它提供基本的 Gauss–Kronrod 求积公式、通过细分区间工作的自适应积分器，以及通过提高求积公式阶数工作的非自适应积分器。

Gauss–Kronrod 求积公式

kronrod_r15, kronrod_r21, kronrod_r31, kronrod_r41, kronrod_r51, kronrod_r61

每个函数在 $[a, b]$ 上对 f 应用一个 Gauss–Kronrod 求积公式；名称中的数字是 Kronrod 节点数。

fn kronrod_r15((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r21((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r31((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r41((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r51((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)
fn kronrod_r61((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double)

结果是元组 (result, result_abs, result_asc, error)：

值	含义
result	f 的积分的 Kronrod 近似值。
result_abs	对 $\lvert f \rvert$ 应用同一求积公式的结果。
result_asc	对 $\lvert f - \bar f \rvert$ 应用同一求积公式的结果，其中 $\bar f$ 是 f 在区间上的平均值；它衡量 f 的变化程度。
error	Kronrod 近似与内嵌 Gauss 近似之差，经 rescale_error 重新缩放。

每个求积公式的类型都是 basic 包中的 Quad_GK，因此可以传给 adap_quad_gk。

rescale_error

rescale_error 将两个求积近似值之间的原始差值转换为保守的误差估计。

fn rescale_error(Double, Double, Double) -> Double

当两者均非零时，rescale_error(err, result_abs, result_asc) 将 $\lvert err \rvert$ 缩放为 $result\_asc \cdot \min(1, (200 \lvert err \rvert / result\_asc)^{3/2})$，且返回值不小于 $50\,\varepsilon \cdot result\_abs$，其中 $\varepsilon$ 是 Double 的机器精度。这是 QUADPACK 的误差启发式方法。

积分器

adap_quad_gk

adap_quad_gk 在 $[a, b]$ 上自适应地对 f 积分：它不断二分误差最大的子区间，直到总误差满足容差。

fn adap_quad_gk((Double) -> Double, ((Double) -> Double, Double, Double) -> (Double, Double, Double, Double), Double, Double, Double, Double, Int) -> Result[(Double, Double, ErrCode), ErrCode]

adap_quad_gk(f, q, a, b, epsabs, epsrel, limit) 对每个子区间应用求积公式 q（例如 kronrod_r21）。当估计的绝对误差不超过 $\max(epsabs, epsrel \cdot \lvert I \rvert)$ 时计算成功结束，其中 $I$ 为当前的积分估计值。limit 是子区间的最大数量。

成功时结果为 Ok((integral, error, OK))，否则为 Err(code)：

代码	原因
E_BAD_TOL	epsabs 不为正，且 epsrel 小于机器精度或 $0.5 \cdot 10^{-28}$。
E_ROUND	舍入误差使得无法达到所要求的容差。
E_SINGULARITY	某个子区间已小到无法再二分，这表明被积函数可能存在奇点或剧烈振荡。
E_MAX_ITER	在达到容差之前已用完 limit 个子区间。

non_adap_quad_gk

non_adap_quad_gk 使用阶数递增的 Gauss–Kronrod 求积公式在 $[a, b]$ 上对 f 积分，不细分区间。

fn non_adap_quad_gk((Double) -> Double, Double, Double, Double, Double) -> Result[(Double, Double, Int), ErrCode]

non_adap_quad_gk(f, a, b, epsabs, epsrel) 依次尝试 21 点、43 点和 87 点求积公式，一旦估计误差小于 epsabs 或小于 epsrel 乘以结果的绝对值便立即返回。结果为 Ok((integral, error, neval))，其中 neval 是所用的函数求值次数（21、43 或 87）。容差非法时（与 adap_quad_gk 相同）结果为 Err(E_BAD_TOL)；即使 87 点公式也达不到容差时结果为 Err(E_FAILED)。

// Integrate x^2 from 0 to 1 (exact answer: 1/3)
let f = fn(x) { x * x }
match non_adap_quad_gk(f, 0.0, 1.0, 0.0000000001, 0.0000000001) {
  Ok((result, error, neval)) =>
    println("Integral: \{result}, Error: \{error}, Evaluations: \{neval}")
  Err(code) => println("Integration failed with error: \{code}")
}

错误码

ErrCode

ErrCode 报告积分的结果状态。

pub(all) enum ErrCode {
  OK
  E_ROUND
  E_SINGULARITY
  E_MAX_ITER
  E_FAILED
  E_BAD_TOL
} derive(Eq)

构造器	含义
OK	积分成功。
E_ROUND	出现意外的舍入误差。
E_SINGULARITY	被积函数可能存在奇点或剧烈振荡。
E_MAX_ITER	已达到最大细分次数。
E_FAILED	一般性失败。
E_BAD_TOL	容差参数非法。

ErrCode 实现了 Eq，因此可以将结果码与构造器进行比较。