core 设计

本页推导 Complex[T] 的代数结构，说明每个 luna-generic 实例在何时合法，并解释泛型类型背后的设计选择：可变字段、未缩放的除法公式，以及与浮点分析的分离。

设计目标

为生态中的每种标量提供同一个泛型复数类型，其实例所声明的代数结构恰好是该构造所具有的结构，而 IEEE 特殊值、分支切割线和超越函数则交给后端包处理。

数学背景

构造

对于交换环 $R$ ， $R$ 上的复数是多项式环对由 $x^2 + 1$ 生成的理想所作的商：

R[i] = R[x]/(x^2 + 1), \qquad i = x + (x^2 + 1), \qquad i^2 = -1 .

用首一多项式 $x^2 + 1$ 做除法会留下唯一一个次数低于二的余式，因此每个元素都可唯一地写成 $a + bi$ （ $a, b \in R$ ）：即二元组 (re, im)。用多项式计算并以 $i^2 = -1$ 化简，便得到本包的各项运算：

\begin{aligned} (a + bi) \pm (c + di) &= (a \pm c) + (b \pm d)i, \\ (a + bi)(c + di) &= ac + (ad + bc)i + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i . \end{aligned}

作为交换环的商， $R[i]$ 是交换环，零元为 $0 + 0i$ ，单位元为 $1 + 0i$ ； $R$ 通过 $a \mapsto a + 0i$ 嵌入其中。

共轭与范数

$\overline{a + bi} = a - bi$ 是由 $x \mapsto -x$ 诱导的映射，它保持理想 $(x^2 + 1)$ 不变，因此是一个二阶环自同构：

\overline{z + w} = \bar z + \bar w, \qquad \overline{zw} = \bar z\,\bar w, \qquad \bar{\bar z} = z .

范数 $N(z) = z\bar z = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$ 属于 $R$ ，并且是乘性的： $N(zw) = zw\,\bar z\bar w = N(z)N(w)$ 。

逆元与除法

若 $N(z)$ 在 $R$ 中可逆，则 $z \cdot \bar z\,N(z)^{-1} = 1$ ，因此

z^{-1} = \frac{\bar z}{N(z)} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}\,i, \qquad \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} .

反之，若 $z$ 可逆，则 $N(z)N(z^{-1}) = N(1) = 1$ ，因此 $N(z)$ 可逆。所以 $z$ 是单位当且仅当 $a^2 + b^2$ 是单位。

何时该构造是域

设 $K$ 为域。 $K[x]/(x^2 + 1)$ 是域当且仅当 $x^2 + 1$ 在 $K$ 上不可约，即 $-1$ 在 $K$ 中不是平方数。直接来看：满足 $N(z) = a^2 + b^2 = 0$ 的非零 $z$ 必有 $b \ne 0$ ，从而 $(a/b)^2 = -1$ 。反之，若 $s^2 = -1$ ，则 $(s + i)(s - i) = s^2 + 1 = 0$ 给出了零因子。

对于 $K = \mathbb R$ （Float、Double）， $-1$ 不是平方数， $\mathbb R[i] = \mathbb C$ 是域。
对于 $K = \mathbb C$ （Complex[Double]）， $-1 = i^2$ 是平方数，因此 Complex[Complex[Double]] $\cong \mathbb C[j]/(j^2 + 1) \cong \mathbb C \times \mathbb C$ 是一个含零因子的环，例如 $(1 + ij)(1 - ij) = 1 - i^2 j^2 = 0$ 。

设计决策

实例跟随 `T` 的结构

问题。 Complex[T] 可以实现哪些 luna-generic trait？

选择。 Zero、One、AddMonoid 和 AddGroup 只需要 T 的相应运算，因为它们逐分量作用。MulMonoid、Semiring 和 Ring 需要 T : Ring，因为乘积要用到减法（ $ac - bd$ ），而 $R[i]$ 的环公理依赖于 $R$ 的环公理。Inverse、MulGroup、Field 以及 Div 运算符需要 T : Field 来计算 $N(z)^{-1}$ 。Conjugate 只需要 Neg。

Field 实例对每个 T : Field 都有声明。由上一节可知，当 $-1$ 在 T 中不是平方数时它是合法的，这涵盖了实数标量类型；对于 T = Complex[Double] 则不然，inv 会在非零的零因子上中止。trait 约束无法表达“−1 不是平方数”，因此该实例在这里信任调用者。¹1 这是 Luna Flow“只实现合法实例”这一规则中的一个已知缺口。测试套件只在范数可逆的值上使用嵌套复数。

四次乘法

备选方案。 使用四次乘法的教科书式乘积 $(ac - bd) + (ad + bc)i$ ；高斯的三次乘法形式 $k_1 = c(a + b)$ 、 $k_2 = a(d - c)$ 、 $k_3 = b(c + d)$ ，乘积为 $(k_1 - k_3) + (k_1 + k_2)i$ 。

选择。 四次乘法。在浮点下，教科书形式的按范数相对误差至多为 $\sqrt5\,u$ ，²2 R. Brent, C. Percival and P. Zimmermann, “Error bounds on complex floating-point multiplication”, Mathematics of Computation 76 (2007). 而三次乘法形式引入了 $a + b$ 、 $d - c$ 这类容易相消的和，按分量的精度更差；并且对于泛型 T，乘法不一定比加法更昂贵。

按分量看， $\mathrm{fl}(ac - bd) = ac(1 + \theta_2) - bd(1 + \theta_2')$ ，其中 $|\theta_2| \le \gamma_2 = 2u/(1 - 2u)$ ，因此

|\mathrm{fl}(ac - bd) - (ac - bd)| \le \gamma_2\,(|ac| + |bd|),

除非 $ac$ 与 $bd$ 相消，否则它相对于结果是很小的。

泛型核心中的教科书式除法

问题。 除法需要 $N(w)^{-1}$ ；对浮点数而言， $c^2 + d^2$ 远在 $c + di$ 之前就会上溢或下溢。

备选方案。 带缩放的算法（Smith 算法，或按 2 的幂重新缩放）需要比较和绝对值，而泛型域不具备这些；教科书公式只需要域运算。

选择。 泛型的 Div 和 Inverse 使用教科书公式，配合 T 的 Inverse::inv。对于精确的域它是精确的。对于 Double，只要 $c^2 + d^2$ 不超出范围它就是正确的，而 Double 的 Inverse 在遇到零（包括下溢后的范数）时中止。带缩放且考虑特殊值的除法位于 float_backend。

可变字段

问题。 复数值常常在循环中更新（累加器、递推），每一步都分配新值是一种浪费。

选择。 Complex[T] 是一个 pub(all) 结构体，带有 mut re 和 mut im，以及 set、set_re 和 set_im。每个运算都返回新值，从不修改其输入，因此不调用这些 setter 的代码可以把复数当作值来对待。确实要修改的调用者必须记住该结构体是按引用共享的。

核心中没有解析函数

$\sqrt z$ 、 $\log z$ 或 $\sin z$ 需要序、绝对值、实数标量的超越函数、分支的选择以及 IEEE 特殊值。这些对泛型域都不存在。因此根包止步于代数，由 float_backend 包为 Double 提供分析功能。

文本与调试形式

Show 使用 T 的文本打印 re + imi（ $1 - 2i$ 打印为 1 + -2i），这是该类型的规范文本，也是 to_string 保留为提升方法的原因。Debug 为测试和诊断打印记录形式。MoonBit 0.10 中其他 trait 方法的提升在 src/extends.mbt 中显式完成。

正确性与不变量

对于 T : Ring，由于 $R[i]$ 是商环，环公理成立；测试套件在整数上检查结合律、单位元以及 $\overline{zw} = \bar z\bar w$ 。
对于精确的 T，z * z.conjugate() 精确等于 $N(z) + 0i$ 。
当 $N(w)$ 、 $N(z)$ 为单位时，z * w / w == z 与 z.inv() * z == 1 对精确的域成立；对 Double 在范围内则在舍入误差意义下成立。
没有任何运算会修改其参数；只有三个 setter 会。

被否决的方案

仅支持 Double 的复数类型。 这会导致为 Float、整数（高斯整数）和精确有理数重复定义该类型。
不可变字段。 值语义更清晰，但对原地更新 re 和 im 的现有调用者来说是破坏性变更。
在核心中做带缩放的除法。 它需要泛型域所缺乏的序和量级运算。

边界

不提供解析函数或超越函数，不做特殊值处理，没有分支切割线；参见 float_backend。
核心中没有极坐标表示。
不检查 T 是否使 $R[i]$ 成为域；Field 实例信任这一点。
不为浮点 T 提供防上溢的除法。

这是 Luna Flow“只实现合法实例”这一规则中的一个已知缺口。测试套件只在范数可逆的值上使用嵌套复数。 ↩
R. Brent, C. Percival and P. Zimmermann, “Error bounds on complex floating-point multiplication”, Mathematics of Computation 76 (2007). ↩