view 设计

设计目标

view 回答一个问题：世界空间中的点出现在屏幕上的什么位置，它有多远？答案必须足够精确，使每个后端（终端字符单元、画布像素、SVG 多边形）显示同一幅画面；足够简单，能用三个公式表述；并且按摄影师的思维方式参数化：一个传感器、一个镜头和一个距离，而不是一个抽象的视场角数值。

数学背景

管线分为三个阶段，每个阶段都是坐标系之间的映射：

$$\underbrace{p_{\text{world}}}_{\texttt{core}} \xrightarrow{\ V\ } \underbrace{p_{\text{camera}}}_{x \text{ right},\ y \text{ up},\ z \text{ forward}} \xrightarrow{\ \text{project}\ } \underbrace{(x_s, y_s)}_{\text{viewport units}},\ \mathit{depth} = z .$$

相机标架

Camera3 由眼睛 $e$、目标 $t$ 和近似的向上向量 $a$ 给出。它推导出

$$f = \frac{t - e}{\lVert t - e \rVert},\qquad r = \frac{a \times f}{\lVert a \times f \rVert},\qquad u = f \times r .$$

这三个向量构成一个正交标架。由叉积的构造，$r$ 垂直于 $f$，而 $u = f \times r$ 同时垂直于二者；$\lVert u \rVert = \lVert f \rVert \lVert r \rVert \sin 90° = 1$，因此代码中最后的归一化除舍入外不改变任何东西。三重积给出定向：

$$r \times u = r \times (f \times r) = f\,(r \cdot r) - r\,(r \cdot f) = f .$$

$u$ 是 $a$ 垂直于 $f$ 的分量再归一化：由同一恒等式 $f \times (a \times f) = a - (a \cdot f)\, f$，因此屏幕上的“上”在观察方向允许的范围内尽量接近 $a$。若 $a \parallel f$，叉积为零，normalize_vec 返回零，标架退化；这是 look_at 的前提条件，而不是被检查的错误。

视图变换

设 $R = [\,r \mid u \mid f\,]$ 是以标架为列的矩阵。它是正交的，因此 $R^{-1} = R^\mathsf{T}$。相机到世界的映射把相机坐标 $c$ 送到 $e + R c$；取其逆得到世界到相机的映射

$$c = R^\mathsf{T} (p - e) = R^\mathsf{T} p - R^\mathsf{T} e, \qquad V = \begin{pmatrix} R^\mathsf{T} & -R^\mathsf{T} e \\ 0^\mathsf{T} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r^\mathsf{T} & -r \cdot e \\ u^\mathsf{T} & -u \cdot e \\ f^\mathsf{T} & -f \cdot e \\ 0^\mathsf{T} & 1 \end{pmatrix},$$

这正是 Camera3::view_transform 构造的矩阵。两项检查：$V e = 0$（眼睛移到原点）以及 $V t = (0, 0, \lVert t - e \rVert)$（目标位于正 $z$ 轴的正前方）。由于 $V$ 是刚体运动（$\det R^\mathsf{T} = +1$），它保持长度、角度和点积。特别地，朗伯项 $\hat n \cdot \ell$ 在世界空间和相机空间中取值相同，这就是前端可以在视图变换之后计算光照的原因。

手性

屏幕把 $r$ 显示为向右、$u$ 显示为向上，而 $f = r \times u$ 指向屏幕内部。按右手系理解坐标轴时，右 $\times$ 上应指向观察者；而这里它背离观察者。因此该约定是 Direct3D 的左手约定：使用 Camera3::default 时，世界 $+x$ 出现在右侧，$+y$ 向上，$+z$ 远离观察者。生成网格的正面在屏幕上呈顺时针，与 Direct3D 一样。geometry3d 中的一切都与这种理解一致；为右手系建模的场景会左右镜像。

透视投影

位于原点、沿 $+z$ 观察的针孔相机，把点 $(x, y, z)$ 成像在针孔前方距离 $\varphi$ 处的平面上。由相似三角形，像位于

$$\left( \varphi \frac{x}{z},\ \varphi \frac{y}{z} \right).$$

PerspectiveProjection::project_point 按每单位像素数对其缩放，把原点移到 $W \times H$ 视口的中心，并翻转 $y$，使其像屏幕行号那样向下增大。把 $\varphi$ 和像素密度合并为一个比例 $s$：

$$x_s = \frac{W}{2} + s\,\frac{x}{z},\qquad y_s = \frac{H}{2} - s\,\frac{y}{z} .$$

在齐次坐标中，这就是内参矩阵 $K$ 后接透视除法：

$$K = \begin{pmatrix} s & 0 & W/2 \\ 0 & -s & H/2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad K \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s x + \tfrac{W}{2} z \\ -s y + \tfrac{H}{2} z \\ z \end{pmatrix} \ \xrightarrow{\ \div z\ }\ \begin{pmatrix} x_s \\ y_s \\ 1 \end{pmatrix}.$$

通常的图形管线把 $K$ 拆成到规范化设备坐标 $[-1, 1]^2$ 的投影和单独的视口变换。view 把二者合并，因为中间没有任何阶段需要规范化坐标。它还保留相机空间的 $z$ 作为深度，而不是规范化深度。形如 $a + b/z$ 的规范化深度是 $z$ 的单调函数，因此二者给出相同的深度测试结果。保留 $z$ 使深度值能以世界单位读出，并让光栅化器可以直接插值 $1/z$（见下文）。

正交投影

去掉除法就得到平行投影 $x_s = W/2 + s x$、$y_s = H/2 - s y$，此时 $s$ 以每个世界单位的像素数计。尺寸不再随距离缩小。OrthographicProjection 用于点和示意图；前端不用它进行光栅化。

透视校正深度

光栅化器知道投影后的顶点 $p_0, p_1, p_2$，以及每个像素的屏幕空间重心坐标 $\lambda_i$，满足 $\sum \lambda_i = 1$ 和 $p = \sum \lambda_i p_i$。它需要投影到该像素的 3D 点的深度 $z$。用 $\lambda$ 对 $z$ 做线性插值是错误的，因为投影不保持直线上的比例。正确的规则是：

在投影后的三角形上，$1/z$ 是屏幕位置的仿射函数，因此 $\dfrac{1}{z} = \displaystyle\sum_i \frac{\lambda_i}{z_i}$。

推导。设 $P = \sum \mu_i P_i$ 为 3D 点，其 3D 重心坐标为 $\mu_i$（$\sum \mu_i = 1$），于是其深度为 $z = \sum \mu_i z_i$。从中心度量屏幕位置，$\tilde x_s = x_s - W/2$。则

$$\begin{aligned} \tilde x_s(P) = s\,\frac{x}{z} = \frac{s}{z} \sum_i \mu_i x_i = \sum_i \frac{\mu_i z_i}{z} \cdot s\,\frac{x_i}{z_i} = \sum_i \frac{\mu_i z_i}{z}\, \tilde x_s(P_i), \end{aligned}$$

对 $y$ 也有同样的计算。权重 $\mu_i z_i / z$ 之和为 $\big(\sum \mu_i z_i\big)/z = 1$，因此它们就是 $p$ 的屏幕空间重心坐标，而对非退化三角形，重心坐标是唯一的：

$$\lambda_i = \frac{\mu_i z_i}{z} .$$

除以 $z_i$ 并求和，

$$\sum_i \frac{\lambda_i}{z_i} = \sum_i \frac{\mu_i}{z} = \frac{1}{z}. \qquad\blacksquare$$

interpolate_perspective_depth 计算的正是这个式子。线性插值的误差可能很大：在深度从 $1$ 到 $3$ 的边上，屏幕中点的真实深度为 $(\tfrac12 \cdot 1 + \tfrac12 \cdot \tfrac13)^{-1} = 1.5$，而线性平均给出 $2$。在两个相交或几乎接触的表面之间，这一差异决定了哪个可见；仓库中有一个测试检查深度缓冲使用的是正确的值。

由推导可得三点：

• 屏幕坐标的任何仿射变换都不改变 $\lambda_i$，因为重心坐标是仿射不变量。TUI 后端的终端 $y$ 缩放就是这样的映射，因此在它之后该规则依然精确。
• 对正交投影，$z$ 本身就是屏幕位置的仿射函数，$1/z$ 规则反而不精确；这就是前端在其（正交的）阴影贴图中使用线性深度，并且从不把正交投影的三角形交给这些光栅化器的原因。
• 该规则要求 $z_i > 0$。当某个顶点位于眼睛处或其后方时，代码回退为线性插值，至少结果是有限的；不过由于没有任何裁剪，这种情况下图像本来就是错的。

物理相机

焦距为 $f$（mm）、传感器高为 $h$（mm）的真实相机，按 $\varphi = f$ 的针孔公式，把 $(x, y, z)$ 成像在传感器上高 $f\,y/z$ mm 处。若传感器高度显示在视口的 $H$ 行上，则每毫米有 $H/h$ 个像素，因此

$$y_s - \frac{H}{2} = -\frac{H}{h} \cdot f\,\frac{y}{z} \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{H f}{h},$$

这就是 ScientificCamera::projection_scale。沿传感器某一尺寸 $d$ 的视场角，可由针孔、传感器中心和传感器边缘构成的直角三角形得到：

$$\tan\frac{\theta_d}{2} = \frac{d/2}{f} \quad\Longrightarrow\quad \theta_d = 2 \arctan\frac{d}{2 f},$$

这就是 LensSpec::horizontal_fov、vertical_fov 和 diagonal_fov 的公式。使用该比例时，位于垂直视场边缘的点（$y/z = \tan(\theta_h/2) = h/2f$）落在 $y_s = H/2 - s\,h/2f = 0$ 处，即最上面一行：垂直视场角恰好覆盖视口高度。水平方向上，视口覆盖 $2\arctan\!\big(\tfrac{W}{H} \cdot \tfrac{h}{2f}\big)$，仅当 $W/H = w/h$ 时才等于传感器的水平视场。因此 640 × 480（4:3）的画布配全画幅传感器（3:2）时，显示的水平视场比镜头的略窄。

单位在 $s$ 中相互抵消：$f$ 和 $h$ 都以毫米计，而 $x/z$ 是两个世界长度之比。把整个场景和相机距离按同一因子缩放，图像不变，因此 WorldUnit 不进入投影。它被 focal_length_world_units 和 sensor_height_world_units 使用，供需要的调用者以场景单位表示光学参数。

滑动变焦

距离为 $d$、高度为 $Y$ 的物体看上去有 $s\,Y/d = H f Y / (h d)$ 像素高。要在相机移动时保持其大小不变，需要 $f/d$ 为常数，即 $f(d) = f_0\, d / d_0$。此时位于其他距离 $d + \Delta$ 的物体按系数 $\frac{d}{d + \Delta} \cdot \frac{d_0 + \Delta}{d_0}$ 改变大小，这就是 demo 包用 ScientificCamera::with_lens 制作动画的“眩晕”效果。

设计决策

带推导标架的观察相机

问题：调用者应能在不计算正交标架的情况下瞄准相机。观察描述 $(e, t, a)$ 符合人们的思维方式，而上面类似 Gram–Schmidt 的构造把它转换为刚体变换。存储这三个向量（而不是矩阵）使 Camera3 便于做动画：移动 eye，保持 target。代价是每次调用 world_to_camera_* 都会重建标架；前端逐顶点调用它，在演示规模下这是可以接受的。

合并投影与视口，保留相机深度

规范化设备坐标的存在是为了让 GPU 能够裁剪并映射到任意帧缓冲。geometry3d 没有裁剪器，每个后端都以视口单位绘制，因此单独的 NDC 阶段只会多一步而不增加能力。保留 $z$ 作为深度，使深度缓冲保存的是沿观察轴的距离，并把透视校正规则变成上面那个简短的公式。

用物理参数描述透视

一个视场角数值隐藏了摄影师分别控制的两样东西：镜头和传感器。ScientificCamera 同时接受二者，这使滑动变焦只需改变一个焦距，并使比例由第一性原理推出。比例与视口高度绑定，因此当视口宽度变化时，垂直视场角——大多数相机和图形 API 的约定——保持不变。

宽松的构造函数

传感器、镜头和世界单位的构造函数把非正值替换为 1.0，而不是返回错误。这些值来自代码而非用户，而在渲染器中，一幅可见但错误的画面比每帧都走一条错误路径更容易调试。Viewport::new 和 Camera3::look_at 完全不做校验。

正确性与不变量

• 只要 up 不平行于观察方向，$(r, u, f)$ 就是满足 $r \times u = f$ 的正交标架。
• view_transform 是刚体运动：它把眼睛映射到原点、把目标映射到 $(0, 0, \lVert t - e \rVert)$，并保持距离和点积。
• 当 $z > 0$ 时，PerspectiveProjection::project_point 与 $K$ 后接透视除法一致；depth 是相机空间的 $z$，因此深度比较就是沿观察轴的距离比较。
• 如上推导，当三个顶点的深度都超过 DEPTH_EPSILON 时，interpolate_perspective_depth 返回像素下方 3D 点的精确深度（在舍入意义下）。
• projection_scale 把垂直视场角映射到视口高度：$s \tan(\theta_h/2) = H/2$。
• 所有函数都是常数时间；批量投影函数与点数成线性关系。

被否决的方案

• 用 Transform3 应用 4×4 投影矩阵。 这可行（apply_point 会除以 $w$），但会把深度替换为规范化值，并且之后还需要一个视口步骤；三个显式公式更清晰。
• 针对近平面裁剪。 这是处理穿过眼睛平面的几何体的正确方法，但它会把三角形拆成多边形，并且每条路径都需要裁剪器。演示程序转而让所有几何体都位于相机前方。
• 视场角参数。 它可由 LensSpec 和 SensorSpec 推出，但无法同样直接地表达传感器的更换或滑动变焦。

边界

view 不会：

• 裁剪几何体、定义近或远平面，或处理位于眼睛处或其后方的点；
• 把屏幕点反投影为射线；
• 模拟景深、镜头畸变、曝光或不居中的主点；
• 校正非正方形的像素或终端字符单元（这由 TUI 后端负责）；
• 光栅化、着色或拥有任何输出格式。